Фамилия Безкоста — один из тех редких случаев, когда отрицание «без» стоит прямо в основе, а не в суффиксе. Она образована от прозвища Безкостый, которое давали человеку с очень гибким, «бескостным» телом — либо от природы, либо из-за болезни (например, рахита или слабых суставов). В переносном смысле так могли назвать изворотливого, уклончивого человека, который «выкручивается» из любой ситуации, — в народе говорили: «без костей, а гнется». Суффикс -а на конце — типичное для южнорусских, украинских и белорусских говоров окончание фамилий-прозвищ в именительном падеже единственного числа (сравните: Беззуба, Безнога, Кривошея). То есть Безкоста — это не русифицированная форма на -ов, а прямое застывшее прозвище, которое и стало фамилией.

Географически фамилия тяготеет к западу и югу России, а также к Украине и Белоруссии — именно там была распространена модель образования фамилий от прилагательных с приставкой «без-» без добавления патронимических суффиксов. В центральных и северных губерниях такого человека скорее записали бы как Безкостова или Безкостина. Встречаются и варианты написания: Безкоста и Безкостый, причем второй — более старая форма прозвища, а первый — результат его застывания в именительном падеже.

Ономастические словари (например, работы Б. Унбегауна) относят подобные фамилии к группе «отрицательных» прозвищ, которые фиксировали физический недостаток или особенность. Однако важно не путать Безкоста с фамилией Безкостный: последняя — церковнославянская по форме (с суффиксом -н-), а Безкоста — более народная, разговорная. В метрических книгах XIX века носители фамилии встречаются в основном среди крестьян и мещан Черниговской, Полтавской и Курской губерний.

Со временем прозвищный смысл стерся, и фамилия стала восприниматься как просто фамильный знак. Но её устройство до сих пор прозрачно: любой, кто знает слово «кость», сразу поймет, что предок был либо удивительно гибким, либо хитрым до изворотливости.