Фамилия Безручеко — редкий случай, когда с первого взгляда понятно значение, но неочевидно происхождение. Корень здесь — «рука», а приставка «без-» указывает на отсутствие. Прозвище Безрукий давали человеку, у которого не было руки (или кисти), либо тому, кто неловко работал руками, словно «безрукий». Но суффикс «-енко» превращает прозвище в фамилию, и тут начинается самое интересное.

Фамилия образована по украинской модели с патронимическим суффиксом «-енко», который в XVI–XVII веках был распространён на Левобережной и Слободской Украине. «-енко» означало «сын» или «потомок». Следовательно, Безрученко — это «сын Безрукого». Однако в вашем варианте написания стоит «Безручеко», а не привычное «Безрученко». Такое окончание встречается реже и может указывать на фонетическую особенность местного говора (например, в некоторых регионах «о» на конце фамилий закрепилось как норма) или на позднюю адаптацию фамилии в русской среде, где окончание «-ко» свойственно многим украинским фамилиям (Шевченко, Коваленко). Таким образом, фамилия Безручеко — тот же украинский патроним, но в слегка изменённой, возможно, обрусевшей форме.

С точки зрения социального статуса, носители фамилии Безрученко/Безручеко в основном относились к казачеству или крестьянству. В реестрах Войска Запорожского встречаются упоминания казаков с прозвищем Безрукий, что подтверждает бытование этой основы в военной среде. При этом фамилия не обязательно указывает на реальное увечье: в казачьей среде прозвища часто давали по характеру или поведению — «безруким» могли назвать неумелого или ленивого бойца.

Географически фамилия привязана к центральным и восточным областям Украины — Полтавщине, Черниговщине, Харьковщине, откуда впоследствии носители переселялись на Кубань и Дон. Встречается она и в южных регионах России, но значительно реже, чем на родине. Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Безруков — более распространённый русский аналог, образованный по модели с суффиксом «-ов», тогда как Безрученко/Безручеко сохраняет украинский след.

Таким образом, фамилия Безручеко — характерный украинский патроним от прозвища Безрукий, закрепившийся в форме с окончанием «-ко». Предки носителя этой фамилии с высокой вероятностью были выходцами из малороссийских земель, и их прозвище могло отражать как физическую особенность, так и бытовую характеристику человека.