Фамилия Бичуя — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В первую очередь бросается в глаза окончание «-уя», нетипичное для русских фамилий. Это сразу указывает на иноязычную основу. Скорее всего, фамилия имеет украинское или белорусское происхождение, где суффикс «-уй» (в форме родительного падежа «-уя») встречается чаще, чем в великорусских землях.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с прозвищем Бичуй. В южнорусских и украинских говорах слово «бич» имело несколько значений: от орудия труда (кнут, плеть) до переносного обозначения человека — «бич» могло означать нечто, что причиняет страдания, или, напротив, человека, который «бьёт» (то есть работящего, бойкого). Прозвище Бичуй мог получить либо пастух, погонщик скота (человек, постоянно использующий бич), либо человек с крутым, «бьющим» нравом. Суффикс «-уй» в данном случае — это характерный для украинской антропонимии способ образования прозвищ от глагольных основ (ср. Держиуй, Гуляй, Ловий).

Вторая, менее очевидная гипотеза — связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях есть корень «бич» или «пич», означающий «резать», «ранить» или «писать» (ср. «бичик» — письмо). Однако для фамилии Бичуя эта версия слабее: окончание «-уя» нехарактерно для тюркских фамилий, которые обычно заканчиваются на «-ов», «-ев» или «-оглы». Поэтому прозвищное происхождение из славянской среды выглядит убедительнее.

Фамилия не была дворянской и не попала в родословные книги Российской империи. Носители фамилии — это, скорее всего, потомки крестьян или казаков из чернозёмных областей Украины или юга России. Географически фамилия встречается точечно, в основном на Украине (особенно в Черкасской и Киевской областях) и в прилегающих районах России. Встречается вариант написания через «ы» — Бичуй, но в русском языке закрепилась форма Бичуя.

Таким образом, если вы носите фамилию Бичуя, ваши предки, вероятно, были людьми из украинского или белорусского села, получившими прозвище за характер или род занятий — скорее всего, за силу, резкость или работу с плетью.