Фамилия Бичун — редкий пример, где фамильное прозвище «застыло» в форме, почти не изменившейся с момента возникновения. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев или -ин, которые означали «чей?» (сын такого-то), Бичун — это чистое прозвище, сохранившее исходный вид. Суффикс -ун в русском языке активно образует названия лиц по характерному действию или свойству: бегун, крикун, хвастун. Соответственно, Бичун — это человек, который «бичует», то есть бьёт, сечёт, или, в переносном смысле, резко критикует, обличает. Прямое значение — «тот, кто бьёт бичом», погонщик, возница, кучер, который управлял лошадьми с помощью длинного кнута (бича). В южных и западных говорах слово «бич» могло означать и просто кнут, и плеть.

Возможна и вторая, менее очевидная версия: прозвище Бичун могли дать не по орудию труда, а по манере поведения — резкому, «бьющему» языку, язвительному человеку, который «сечёт правду-матку». В крестьянской среде такие прозвища были обычны: они метко схватывали главную черту человека, будь то профессия или характер.

Географически фамилия тяготеет к западным и южным регионам бывшей Российской империи, особенно к Украине и Белоруссии, где суффикс -ун встречается чаще, чем в северных великорусских говорах. Там же слово «бич» (или «бичун» как производное) могло бытовать в значении «пастуший кнут» или «погонялка». Встречаются и однокоренные фамилии: Бич, Бичев, Бичков, но Бичун стоит особняком — это не патроним (не «сын Бича»), а прямое прозвище, которое стало фамилией без дополнительных суффиксов. Такая модель (чистая основа) в русской ономастике характерна для прозвищ, которые успели закрепиться до массового насаждения фамилий-патронимов в XIX веке.

Таким образом, предок носителя фамилии Бичун, скорее всего, был либо погонщиком, пастухом или извозчиком, работавшим с бичом, либо человеком с острым, хлёстким языком — «бичующим» словом. В любом случае, прозвище было точным и запоминающимся, раз дошло до наших дней почти без изменений.