Фамилия Билина образована от мирского имени Биля. В старину имена с корнем -бел- (в украинском произношении — -бил-), означающим «белый», были очень популярны. Такие имена давали не при крещении, а в быту, и они часто указывали на внешность человека — светлые волосы или кожу. Потомок человека по имени Биля со временем получил фамилию Билина.

Словообразовательная модель проста: к основе Бил- добавился суффикс -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность («чей?» — сын Били). Это типичная «патронимическая» фамилия, возникшая в среде простых людей, где мирские имена долго конкурировали с церковными.

В украинских говорах корень бил- мог нести и дополнительные оттенки: «билый» — не только белый, но и чистый, светлый, а иногда — «белокурый». Впрочем, не исключено, что прозвище Биля могло относиться к человеку с сединой или с очень светлой, заметной внешностью. Географически фамилия Билина встречается в основном в западных и центральных регионах Украины, а также в южных областях России, куда переселялись украинские крестьяне.

В отличие от фамилий на -ов/-ев (например, Белов), модель на -ин в данном случае не связана с владением землёй или службой — она чисто семейная, бытовая. Если ваш предок носил фамилию Билина, скорее всего, он происходил из крестьянской или казачьей среды, где мирские имена держались особенно долго.