Фамилия Бирай — редкая и неочевидная для русского уха. Её происхождение, скорее всего, не связано со славянскими корнями, а уходит в тюркские языки, хотя возможна и другая, менее вероятная версия.

Самый прямой путь — разобрать её как тюркскую фамилию. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, турецком) слово «бир» означает «один» или «дай», а «ай» — «луна» или «месяц». Сочетание «Бирай» может быть сложносоставным прозвищем или именем, которое в древности давали ребенку, родившемуся в новолуние («один месяц»), или же оно образовано от повелительной формы глагола «бир» («дай») и существительного «ай» — то есть «дай луну». Такие имена-пожелания были распространены у тюркских народов. Фамилия могла возникнуть, когда это прозвище или личное имя закрепилось за родом. В пользу тюркской версии говорит и типичное для таких фамилий отсутствие русского суффикса (-ов, -ев, -ин): Бирай — это чистая основа, что характерно для фамилий тюркского происхождения, которые не проходили русификацию.

Менее вероятная, но возможная версия — искусственное происхождение. В XX веке, особенно в советское время, появлялись фамилии, образованные от аббревиатур или просто как благозвучные сочетания слогов. Например, «Бирай» могло быть сокращением от «Бийск — райцентр» или сложением частей слов «биография» и «район». Однако эта гипотеза слабая: подобные фамилии чаще создавались в среде партийной номенклатуры или в эпоху «красных имен», а Бирай не похожа на типичный советский новодел вроде Вилен или Ким.

Географически фамилия Бирай встречается в России — в основном в Татарстане, Башкортостане, а также среди казахов и народов Северного Кавказа. Встречается она и в Турции, что дополнительно подтверждает тюркскую этимологию. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из тюркоязычной среды, и фамилия изначально не была прозвищем по профессии, а представляла собой личное имя или прозвище по внешности или времени рождения.