Фамилия Бирский — одна из тех, где значение упирается в географию. В подавляющем большинстве случаев её получил человек, имевший отношение к городу Бирску (ныне райцентр в Башкортостане). Модель образования прозрачна: основа «Бир-» плюс типичный для топонимических фамилий суффикс «-ск-» и окончание «-ий». Так складывались фамилии дворян по названиям вотчин и, что важнее, фамилии духовенства — выпускникам семинарий часто давали «географическую» фамилию по месту рождения или службы. Поэтому Бирский мог быть либо выходцем из Бирска, перебравшимся в другую губернию, либо сыном священника, получившим фамилию при поступлении в училище.

Менее вероятная, но возможная версия — отчество от прозвища Бирюк. В южнорусских говорах «бирюк» — волк-одиночка, а в переносном смысле — нелюдимый, угрюмый человек. При переходе в фамилию «Бирюк» дало бы «Бирюков», но существовала и форма «Бирский» как вариант, если прозвище успело обрасти суффиксом «-ск-» (например, сын Бирюка — Бирский). Однако эта цепочка сложнее и реже, чем прямая привязка к городу.

Ударение в фамилии устойчивое — на первый слог: Би́рский. Это тоже указывает на топонимическое происхождение: название города Бирск произносится с тем же ударением. В дореволюционных документах фамилия встречается в основном в Оренбургской и Уфимской губерниях, что логично: Бирск входил в Уфимскую губернию, и семинаристы оттуда расходились по приходам. Встречаются также написания «Бирской» — старая форма прилагательного, которая со временем унифицировалась.

Известных носителей фамилия не дала громких, и это нормально: Бирские — это в основном провинциальное духовенство, учителя, мелкие чиновники. Фамилия не редкая, но и не массовая, её география по-прежнему тяготеет к Приуралью и соседним регионам. Если ваш предок — Бирский, скорее всего, корни ведут в сторону Бирска, а не в лес к бирюку.