Фамилия Бирина — это женская форма, а её основа — мужское прозвище Бира. Словообразовательная модель проста: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть Бирина — «дочь или жена Биры». Разберёмся, откуда взялось само прозвище.

Самая вероятная версия ведёт к татарскому «бир» — «дай». В тюркской среде такое прозвище могли дать сборщику дани или податей, человеку, который требовал отдать положенное. Эта гипотеза подкрепляется историческими записями: в «Ономастиконе» С. Б. Веселовского упоминаются однокоренные фамилии Биревы. Среди них — Арап, Истома и Замятия Васильевичи Биревы, 1556 год, Кашира, причём отмечено, что они из крещёных татар. Вторая половина XVII века снова фиксирует Биревых в Кашире и Коломне. Таким образом, тюркский корень здесь не просто догадка, а подтверждённый факт для родственных фамилий.

Существует и другая, менее распространённая версия — от украинского «бiр» (бор, сосновый лес). Тогда прозвище Бира указывало бы на место жительства: человек, живший у бора. Однако эта гипотеза слабее: географически фамилия чаще встречается в регионах, где сильны тюркские влияния (Поволжье, рязанско-каширские земли), а украинский след для этих мест менее характерен.

Фамилии с основой «бир-» действительно древние и нередко указывают на служилых людей тюркского происхождения, перешедших на русскую службу. Так что предки Бириных вполне могли быть сборщиками податей или выходцами из ордынской знати, получившими прозвище по роду занятий.