Фамилия Бирчук — один из тех случаев, когда на первый взгляд ясное слово таит в себе неожиданный поворот. Если отбросить суффикс -ук, который в украинской, белорусской и польской традиции указывает на потомка или носителя признака («сын кого-то» или «тот, кто связан с чем-то»), остаётся корень «бирч». Самое очевидное, что приходит в голову, — связь с тюркским «бир» (один) или «бирча» (единый, совместный), но это ложный след. На деле Бирчук почти наверняка происходит от польского или украинского слова «бирч» — так в Речи Посполитой называли сборщика податей, чиновника, отвечающего за взимание налогов (от польск. birka — «сбор, такса»). В документах XVI–XVIII веков бирчие упоминаются как низшие административные лица в городах и сёлах, часто из мещан или зажиточных крестьян. Таким образом, предок носителя фамилии мог быть либо самим сборщиком, либо его сыном или подчинённым, получившим прозвище по роду занятий.

Менее вероятная, но допустимая версия — от личного имени Бирча, которое могло быть уменьшительной формой от Борис или Бирюк (в диалектах — нелюдимый человек). Однако суффикс -ук в этом случае типичен для западнорусских земель, где фамилии на -ук особенно часты (сравните: Грищук, Ковальчук). Географически Бирчуки встречаются в основном на западе Украины, в Беларуси и на востоке Польши — как раз в зоне влияния польской административной системы. В России фамилия редка и, скорее всего, появилась в результате миграции.

Интересная деталь: в отличие от более распространённых фамилий того же корня (Бирюков, Биркин), Бирчук сохранил не суффикс принадлежности (-ов, -ин), а уменьшительно-патронимический формант -ук, что прямо говорит о социальном контексте — фамилия сложилась в среде, где не было крепостного права в его великорусской форме, а преобладали лично свободные крестьяне и мещане, для которых прозвище по должности было естественным способом идентификации. Если ваш предок был Бирчуком, скорее всего, он происходил из западнорусских земель и имел отношение к сбору податей или учёту.