Фамилия Бирнюков — редкая и неочевидная с точки зрения корня. В ней слышится что-то балтийское или белорусское, но на поверку это исконно русская фамилия, образованная по самой типичной модели: от прозвища или имени через суффикс -юк и патронимический суффикс -ов. То есть цепочка такая: прозвище Бирнюк → сын Бирнюка → Бирнюков.

Корень «бирн-» в русских говорах и ономастике почти не встречается. Самая правдоподобная версия — связь с диалектным словом «бирня» или «бирн», которое в некоторых западных и южных регионах означало «мера сыпучих тел» или «корзина для зерна». В таком случае Бирнюк — прозвище человека, который делал такие корзины, торговал зерном или отвешивал его. Суффикс -юк характерен для украинской и южнорусской среды, он указывает на принадлежность или уменьшительность: Бирнюк — «маленький бирн» или «сын бирна».

Менее вероятная, но допустимая версия — от имени Бирн, которое могло быть сокращением от канонического имени Варнава (разговорное Бирна в некоторых говорах). Тогда Бирнюк — «внук Варнавы». Но это уже натяжка, так как форма Бирн в русских святцах не фиксируется.

География фамилии подсказывает, что её носители — из Курской, Орловской, Воронежской губерний, то есть с границы великорусского и малорусского диалектов. Именно там прозвища на -юк были нормой. В XIX веке Бирнюковы — чаще государственные крестьяне или однодворцы, люди, жившие земледелием и ремеслом. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Интересная деталь: фамилия не имеет вариантов с «а» (Барнюков) — это говорит о том, что корень произносился устойчиво через «и», а не через редуцированное «о». В переписях и ревизских сказках встречается написание с твёрдым знаком в конце — Бирнюковъ, что типично для XIX века.

Так что Бирнюков — фамилия ремесленно-земледельческая, с прозрачной внутренней формой, но неочевидным исходным словом. Если предок и был «бирнюком», то скорее всего — человеком, имевшим дело с зерном или плетением.