Фамилия Бирюцкий — одна из тех, где этимология не лежит на поверхности, и угадать её с ходу, не зная диалектов, почти невозможно. На первый взгляд кажется, что основа — «бирюк» (волк-одиночка, нелюдимый человек), но суффикс -цк- подсказывает, что перед нами не прозвище, а топонимическая фамилия.

В русской ономастике суффикс -ский/-цкий почти всегда указывает на связь с географическим названием: селом, городом или местностью. Такой тип фамилий был особенно распространён среди духовенства и дворянства, но встречался и у других сословий, если человек переезжал и получал прозвание «с Бирюка» или «из Бирюцкого». Значит, предок носителя фамилии Бирюцкий происходил из населённого пункта с корнем «Бирюк-» или «Бирюц-». На карте России и Украины таких мест несколько: например, село Бирюк в Курской области, хутор Бирючий в Ростовской, а также Бирюч — историческое название города в Белгородской области (ныне Красногвардейское). В украинских говорах «бирюк» означало не только зверя, но и «одинокий двор» или «отдалённое поселение», так что название села могло возникнуть независимо от прозвища.

Менее вероятная, но не исключённая версия — прозвищное происхождение. Если бы фамилия была Бирюков, сомнений бы не было: «чей?» — «сын Бирюка». Но суффикс -цкий так не работает: он не отвечает на вопрос «чей», а указывает на происхождение из места. Поэтому версия с прозвищем слабая: она потребовала бы, чтобы предка звали Бирюцкий уже как прозвище, что для XVI–XVII веков нетипично.

Фамилия редкая, в списках массовых русских фамилий не значится. Встречается в основном в центральных и южных регионах России, что совпадает с ареалом топонимов Бирюк и Бирюч. В документах XIX века Бирюцкие фиксируются как мещане и крестьяне, но не исключено, что часть носителей — потомки духовенства, получивших фамилию по названию прихода или села, где служили. Известных деятелей с такой фамилией в широком доступе нет, что только подтверждает её локальный, нестоличный характер.

Итог: скорее всего, ваш предок был выходцем из села или хутора с названием вроде Бирюк, Бирючий или Бирюч. Фамилия — географический маркер, который сохранил привязку к малой родине, а не к характеру или внешности.