Фамилия Бижук — одна из тех, что звучат не по-русски, и это подсказка для этимолога. Её корень, скорее всего, украинский или белорусский, а суффикс -ук указывает на принадлежность или происхождение. В восточнославянской ономастике -ук (как и -чук) — типичный патронимический суффикс, особенно распространённый на западе и юге Украины, а также в Беларуси. Он отвечает на вопрос «чей?»: Бижук — это «сын Бижа» или «потомок Бижа».

Сама основа «Биж» — не имя, а прозвище. Наиболее правдоподобная версия связывает её с украинским словом «біж» (или «біжа») — «беглец», «беженец». В старину так могли назвать человека, который бежал откуда-то: от военной службы, от крепостной зависимости или с места преступления. В говорах встречается и глагол «біжати» — «бежать», поэтому прозвище могло закрепиться за непоседливым, торопливым человеком. Менее вероятна, но возможна связь с тюркским «биж» (князь, господин) — в таком случае фамилия могла бы иметь южное, степное происхождение, но для украинского ареала это нетипично.

География фамилии подтверждает украинский след. Бижуки встречаются в основном в западных областях Украины — на Волыни, в Ровенской и Житомирской областях, а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. В России фамилия редкая, её носители — почти всегда выходцы с Украины.

Сословная принадлежность предков-Бижуков, скорее всего, была крестьянской или казачьей. Суффикс -ук в малороссийской среде часто давали простым людям, в отличие от польской шляхты, где преобладали -ский/-цкий. Так что ваш предок по прозвищу Биж мог быть беглым крестьянином, вольным казаком или просто человеком с быстрой походкой — спустя века уже не угадать. Но фамилия сохранила эту короткую, ёмкую характеристику.