Фамилия Бочкарёва (а именно так, скорее всего, выглядит её нормативное написание, если вы искали вариант через «кр») — одна из тех, где прозвище предка лежит на поверхности. В основе лежит слово «бочкарь» — бондарь, мастер по изготовлению бочек. В старину это ремесло было повсеместно востребованным: бочки нужны были для хранения зерна, рыбы, мёда, вина, солений. Поэтому прозвище Бочкарь давали не просто ремесленнику, а часто — человеку крепкому, плотному, «бочкообразному», что тоже встречалось.

Фамилия образована по стандартной восточнославянской модели: к основе «Бочкар(ь)» добавили суффикс принадлежности -ёв (фонетический вариант -ев после шипящих). В итоге «Бочкарёв» — буквально «сын Бочкаря» или «из семьи Бочкаря». Ударение в исходном прозвище падало на последний слог: бочка́рь, поэтому и в фамилии оно закрепилось на окончании: Бочкарёв.

Написание «Бочкакрёва» — явная опечатка, вызванная, вероятно, быстрым набором или тем, что в устной речи сочетание «рё» звучит глуше. Однако в истории русских фамилий встречаются и более причудливые искажения. Если ваш вариант именно такой — это, скорее всего, ошибка переписчика или паспортиста начала XX века, когда фамилии записывали на слух. Правильная форма для мужчины — Бочкарёв, для женщины — Бочкарёва.

Любопытно, что у фамилии есть «двойники»: Бочкарев (с ударением на а — от прозвища Бочкарь) и Бочкарёв (с ударением на ё — от той же основы, но с другим суффиксом). Оба варианта встречаются, но Бочкарёв — самый частый. В диалектах слово «бочкарь» могло означать и торговца бочками, и человека, который «катит бочку» — то есть скандалиста или буяна, так что не факт, что предок обязательно был бондарем. Но ремесленная версия — самая прямая и правдоподобная.