Фамилия Бочкарёв (а вы написали «Бочкарёво», что, скорее всего, женская форма или ошибка склонения — в именительном падеже мужская фамилия звучит как Бочкарёв) происходит от прозвища или профессии предка. В основе лежит слово «бочкарь» — так в старину называли мастера по изготовлению бочек, то есть бондаря. Это одна из «профессиональных» русских фамилий, которые давали по роду занятий: кузнец становился Кузнецовым, плотник — Плотниковым, а бочкарь — Бочкарёвым.

Суффикс «-ёв» указывает на принадлежность: Бочкарёв буквально означало «сын бочкаря» или «из семьи бочкаря». Форма на «-ёв» (а не на «-ов») объясняется мягкой основой исходного слова — «бочкарь» оканчивается на мягкий согласный «р» (сравните: пекарь — Пекарёв, звонарь — Звонарёв). В некоторых говорах слово «бочкарь» могло звучать как «бочкар», отсюда и фамилия с твёрдым суффиксом — Бочкаров, но вариант с «ё» встречается чаще и считается нормативным.

В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) фамилия Бочкарёв относится к числу распространённых, но не самых частых. Географически она бытует по всей России, но заметно чаще встречается в южных и центральных областях, где бондарное ремесло было особенно востребовано для хранения зерна и вина. В отличие от фамилии Бондарев, которая тоже означает бондаря, Бочкарёв имеет более узкую специализацию: бондарь мог делать любую деревянную посуду, а бочкарь — именно бочки.

Интересно, что в некоторых регионах «бочкарём» могли прозвать не только мастера, но и человека с крупной фигурой, похожей на бочку, — то есть фамилия могла закрепиться и по внешнему признаку. Однако это менее вероятно: прозвища по ремеслу давались чаще, и именно они становились основой для наследственных фамилий у крестьян и посадских людей в XVII–XVIII веках.