Фамилия Богапова — женская форма от мужской Богапов. В её основе лежит прозвище Богап. Скорее всего, оно имеет чечено-ингушские корни и образовано сращением двух слов: «бога» (чашка, тарелка) и «апари» (деревянный). Если эта версия верна, прозвище относилось к роду занятий: так могли назвать ремесленника, который делал деревянную посуду и домашнюю утварь. Фамилия закрепилась за потомками этого человека по обычной русской модели: сын Богапа стал Богаповым, его дочь или жена — Богаповой.

Обратите внимание на суффикс -ов. Он указывает на принадлежность («чей?» — Богапов), и это типичный способ адаптации нерусских по происхождению прозвищ в русской фамильной системе. Если бы прозвище было тюркским или монгольским, оно могло бы дать другую огласовку, но чечено-ингушская основа здесь выглядит убедительно: слово «бога» в значении «чаша» встречается и в других кавказских языках.

Встречаемость фамилии невысока, что тоже косвенно подтверждает её локальное, ремесленное происхождение: такие фамилии редко расходились широко за пределы одного села или тейпа. В современных базах данных носители Богаповых встречаются в Чечне, Ингушетии и соседних регионах, что согласуется с предложенной этимологией. Других версий — например, от тюркского личного имени — нет, и притягивать их без оснований не стоит.