Фамилия Богдаеов встречается редко, и её написание сразу бросается в глаза. В русской ономастике стандартная модель — суффикс -ов присоединяется к основе, оканчивающейся на согласный: Богдан → Богданов. Здесь же основа явно не «Богдан», а «Богдай» или «Богдае». Скорее всего, перед нами не опечатка, а живой диалектный вариант или результат исторической записи фамилии, закреплённый в документах.

Самая вероятная версия: фамилия образована от прозвища или имени Богдай. В русских говорах слово «богдай» могло означать «дарованный богом», но не как полное имя Богдан, а как его краткая, народная форма. Суффикс -ев в фамилии указывает на принадлежность: «чей?» — Богдаев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Богдай. Окончание -ов вместо ожидаемого -ев могло возникнуть из-за путаницы при переписи: писарь на слух записал «Богдаев» как «Богдаеов», и форма закрепилась.

Менее вероятно, но возможно, что основа восходит к тюркскому корню «багдай» — «пшеница» или к географическому названию. Однако для русской фамильной модели такое объяснение требует дополнительных доказательств: если бы предок был прозван за занятие хлебопашеством, фамилия скорее звучала бы как Богдаев или Богдайкин. Вариант с -ов при основе на гласный — исключение, которое обычно объясняют ошибкой письма или региональной особенностью произношения (например, в северных говорах «е» могло звучать как «ё» и записываться как «ео»).

Социальный контекст прост: фамилия с суффиксом -ов/-ев типична для крестьян и мещан центральной России, особенно в XIX веке, когда массово закреплялись фамилии по имени отца. Владельцы фамилии Богдаеов, скорее всего, происходят из среды, где имя Богдан было распространено, но в быту использовали его усечённую форму. Сейчас фамилия крайне редка, и её носители могут столкнуться с трудностями при поиске корней из-за нестандартного написания.