Фамилия Богдановских образована от мужского имени Богдан, которое в переводе со старославянского означает «данный Богом». Имя пришло в русский язык из Болгарии, а сама фамилия закрепилась в северных и сибирских регионах — на Урале, в Зауралье и за Уралом.

Главная особенность Богдановских — редкий суффикс -ских, характерный для севернорусских и сибирских фамилий. Такие фамилии, как правило, указывали на принадлежность к определённой семье или роду: «из дома Богдановых». В центральной России чаще встречается форма Богданов, а окончание -ских выдаёт переселенческую волну, которая уходила на восток в XVI–XVIII веках.

Основа имени Богдан — калька с греческого Феодор (Теодорос), где «тео» — Бог, а «дорос» — дар. В народной среде имя было очень популярно: родители, долго не имевшие детей, называли так долгожданного сына, считая его Божьим подарком. Поэтому предок носителя фамилии Богдановских почти наверняка был желанным ребёнком, а его потомки получили прозвание по отцу — сначала Богдановы, а затем, с добавлением -ских, закрепили родовую принадлежность.

Встречаются и другие однокоренные фамилии: Богданов, Богданович, Богданчиков. Но форма Богдановских — одна из самых редких, и её можно встретить в основном в Пермском крае, Свердловской, Тюменской и Курганской областях. Если ваши предки оттуда, фамилия почти наверняка местная, урало-сибирская.