Фамилия Большыков — один из тех случаев, где написание хранит память о старом произношении. В современном русском языке мы пишем «Большаков», но в XIX — начале XX века на письме нередко отражали аканье или, наоборот, гиперкорректное «ы» на месте этимологического «а». В основе фамилии лежит прозвище Большой — так на Руси называли старшего сына, главу семьи или просто рослого, крупного человека. Суффикс -ык- в форме Большык (а затем и -ов) указывает на принадлежность: Большыков буквально значит «сын Большыка» или «из семьи Большого».

Обратите внимание на словообразовательную цепочку: не «Большой → Большаков», а «Большой → Большык (уменьшительно-уничижительная или, наоборот, ласкательная форма) → Большыков». Такая модель с суффиксом -ык/-ик характерна для северных и центральных говоров: ср. Меньшиков (от Меньшик — младший сын), Шишиков, Косыков. В отличие от фамилии Большаков, которая распространена повсеместно, вариант с «ы» встречается реже и чаще фиксируется в документах Рязанской, Тамбовской и Владимирской губерний — там, где в письменной традиции долго держался старый принцип «пишу, как слышу».

Прозвище Большой было не только описательным, но и социальным: в крестьянской общине «большаком» называли хозяина двора, старшего в семье, который распоряжался имуществом и работой. Соответственно, предок носителя фамилии Большыков мог быть не просто физически крупным человеком, а занимать главенствующее положение в доме или артели. Фамилия не дворянская и не купеческая по происхождению — это типичный пример того, как бытовое прозвище закрепилось за потомками в качестве родового имени.

Встречаются и варианты с двойным написанием: в метрических книгах одну и ту же семью могли записать то как Большыковы, то как Большаковы. Это не ошибка, а следствие неустойчивой орфографии до реформы 1918 года. Сегодня написание через «ы» подчёркивает диалектную или историческую особенность — и для этимолога служит ценной подсказкой о том, где жили предки.