Фамилия Боремчук построена по редкой для русского языка модели, что сразу выделяет её среди более привычных вариантов на -ов, -ин или -ский. Основа здесь — личное имя Борим, которое в древнерусской традиции могло быть как полным, так и сокращённым вариантом. Само имя Борим — вероятно, от глагола «борити» (бороть, побеждать) или от старославянского «борьба». В таком случае имя носило пожелательный характер: родители называли сына Боримом, надеясь, что он вырастет сильным и победителем. Однако есть и вторая версия: в некоторых говорах «борим» означало «тот, кто борется», и это могло быть прозвище для драчливого или упрямого человека.

Суффикс -чук типичен для западноукраинских и белорусских фамилий и обозначает сына или ученика. То есть Боремчук — это «сын Борима» или «потомок Борима». Сравните с фамилиями Боримчук, Боримский, Боримов — они однокоренные, но модель на -чук указывает на более позднее оформление фамилии, когда патроним ещё не застыл в форме на -ович, а по-прежнему образовывался через уменьшительный суффикс. В польских и украинских документах XVI–XVII веков встречается написание Борейчук, что может быть диалектным вариантом того же корня.

Географически фамилия Боремчук тяготеет к Волыни, Подолью и западной части Полесья. В дореволюционных метрических книгах она фиксируется в основном среди крестьян и мещан — дворянских родов с такой фамилией не известно. Это говорит о том, что фамилия возникла в среде, где фамилии закреплялись позже и по простой схеме: от имени отца. Интересно, что в переписях XIX века встречается вариант написания через «а» — Барэмчук, что отражает местное аканье, но в литературной норме закрепилась форма с «о».

Есть ещё одна гипотеза, но она менее убедительна: связь с тюркским корнем «борум» (нос, клюв) или с румынским «borem» (бурьян). Однако ни фонетически, ни исторически эти версии не подкреплены — фамилия явно славянская, с прозрачной словообразовательной структурой. Так что если вы Боремчук, ваш предок почти наверняка был крестьянином или ремесленником с запада Украины, а его отца звали Борим.