Фамилия Бормашева — женская форма, а мужская, Бормашев, встречается чаще. В её основе лежит прозвище или неканоническое имя Бормаш. Что оно означало — вопрос, на который нет одного ответа, но есть несколько правдоподобных версий.

Первая и самая вероятная: Бормаш — это производное от слова «бормот» или «бормотать». В русских говорах «бормаш» могли называть невнятно говорящего человека, ворчуна. Словообразовательная модель простая: корень «борм-» (от «бормотать»), суффикс «-аш», характерный для прозвищ (сравните: вертун — верташ, крикун — крикаш). То есть предок носителя фамилии мог получить такое прозвище за манеру речи.

Вторая версия, менее распространённая, но не лишённая оснований: связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях «борма» означает «крученый», «витой», а суффикс «-аш» мог дать значение «тот, кто делает что-то». В этом случае Бормаш — прозвище мастера, изготавливающего витые изделия, например, плетёные верёвки или кручёную проволоку. Однако эта гипотеза слабее, так как фамилия не имеет ярко выраженной южной или восточной географии.

Третья, совсем редкая версия, которую приводят некоторые исследователи: от слова «барма» — оплечье, часть парадной одежды. Но переход «барма» в «борма» фонетически неочевиден, и эта версия скорее домысел.

Суффикс «-ев» в фамилии указывает на принадлежность: Бормашев — сын Бормаша. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на твёрдый согласный. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, и её носители могли жить в центральных или северных губерниях России, где «бормотание» и «бормаш» фиксируются в диалектной речи.

В итоге: Бормашева — фамилия, скорее всего, от прозвища невнятного или ворчливого человека. Точное значение зависит от того, какая версия ближе к реальности конкретной семьи, но первая, «говорная», остаётся основной.