Фамилия Бормашова — женская форма, а мужская, Бормашов, образована по простой и распространённой модели: к основе прозвища или имени Бормаш добавили типичный русский суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — Бормашов сын, внук). Вопрос, что скрывается за словом «Бормаш».

Здесь есть несколько версий, и самая вероятная связана с диалектным словом «бормотать». В северных и центральных говорах «бормаш» или «бормош» могли называть человека, который говорит невнятно, себе под нос, бормочет. Такое прозвище давали не в обиду, а как характерную примету — по манере речи. Суффикс -аш в этом слове типичен для русских прозвищ (ср. «крикун» — «крикаш», «ворчун» — «ворчаш»), он придаёт оттенок действия или свойства.

Вторая версия, менее распространённая, — от тюркского имени Бормаш, которое встречается у татар и башкир. В этом случае корень «бор» может означать «дай» или отсылать к понятию «мелкий, дроблёный», но для русской фамилии такое происхождение менее характерно: фамилия Бормашов — русская по форме, и её носители в основном фиксируются в центральных областях России, а не в регионах с тюркским населением.

Интересно, что фамилия Бормашов встречается в документах XVII века — например, в переписных книгах по Воронежскому краю упоминаются служилые люди с такой фамилией. Это намекает на то, что предки могли быть не крестьянами, а, скажем, стрельцами или казаками, которым прозвище давали по внешнему признаку или поведению.

Таким образом, Бормашова — фамилия, скорее всего, от прозвища невнятно говорящего человека. Она не очень редкая, но и не массовая: в современной России насчитывается несколько тысяч носителей обеих форм, в основном в Воронежской, Липецкой и Рязанской областях. Если ваши предки оттуда — скорее всего, корни именно в прозвище за характер.