Фамилия Боровкий — редкий случай, когда написание расходится с произношением и затемняет происхождение. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Боровский, где под влиянием аканья буква «о» заменилась на «а» в безударном положении, а потом это написание закрепилось в документах. В русской традиции фамилии на -ский обычно указывали на географическую привязку: владение местностью или происхождение из населённого пункта. Основа здесь — «бор» (сосновый лес). Предок мог владеть землёй при таком лесе или жить в селе Боровое, Боровка, Боровск — таких топонимов по России десятки.

Менее вероятно, но возможно, что фамилия образована от прозвища Боровок. В диалектах так могли называть не только поросёнка, но и приземистого, плотного человека, или даже того, кто жил в норе-землянке. Однако суффикс -к-ий в этом случае выглядит нетипично: прозвищные фамилии чаще давали через -ов/-ев. Поэтому версия с искажением «Боровский» правдоподобнее.

Интересно, что фамилия Боровкий почти не встречается в старых дворянских родословных книгах — её нет в списках столбового дворянства. Это косвенно указывает на позднее происхождение, скорее всего, из крестьянской или мещанской среды. В XIX веке при переписях и паспортизации крестьянам часто записывали фамилии на слух, и «Боровкий» вместо «Боровский» — характерная ошибка писаря.

В современной России фамилия крайне редкая, встречается точечно. Если вы её носите, скорее всего, ваши предки жили в лесной полосе средней России — в бывших Калужской, Орловской, Тверской губерниях, где топонимы с корнем «бор» особенно часты.