Фамилия Бортеик — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корни, нужно смотреть не только на основу, но и на окончание: -ик. В русской ономастике суффикс -ик чаще всего уменьшительный или указывает на принадлежность к чему-либо, но в фамилиях он может выполнять роль прозвищного форманта. Скорее всего, Бортеик — это не исконно русская фамилия, а белорусская или украинская, где такие окончания встречаются чаще, чем в великорусских землях (ср. Бортник, Бортко, Бортей).

Основа «Борт-» отсылает к древнему занятию — бортничеству, то есть сбору мёда диких пчёл из дупел деревьев (бортей). Бортник — человек, который этим промышлял. Фамилия могла образоваться от прозвища Бортей: так могли называть самого бортника или человека, похожего на него по характеру или внешности. Суффикс -ик в таком случае добавляет оттенок «сын Бортея» или «маленький Бортей», что типично для западнорусских фамилий на -ик (как Иваник, Павлик).

Есть и менее вероятная версия, связывающая фамилию с литовским или балтским корнем, где «bortas» означает «борт» (лодки, повозки). Но в контексте восточнославянских земель, где бортничество было массовым промыслом, первая версия убедительнее. Исторически носители фамилии Бортеик жили, скорее всего, на территории современной Беларуси или в западных областях России, в зоне смешанных лесов, где и процветало бортничество. Сословно это могли быть крестьяне или мещане — люди, чей промысел дал им фамилию.

Точных данных о знаменитых носителях фамилии нет, и это не удивительно: фамилия очень редкая. Если вы её носите, то, вероятно, ваши предки были связаны с лесным пчеловодством или просто получили прозвище от мастера по мёду.