Фамилия Борзунин образована от прозвища или нецерковного имени Борзун. Основа — диалектный глагол «борзать» или «борзить», то есть торопиться, спешить, делать что-то быстро, опрометчиво. В рязанских, тульских и владимирских говорах «борзун» — это торопыга, непоседа, человек, который всё делает наскоком. В других областях слово могло означать «крикун» или «ворчун» — от звукоподражательного «борзеть» (издавать резкий звук). Так что первый носитель фамилии, скорее всего, получил своё уличное имя за живой, порывистый характер или за манеру говорить.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: основа на твердый согласный плюс суффикс -ин. Борзун → Борзунин, то есть «чей?» — сын или потомок Борзуна. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречаются у потомков по мужской линии с мягкой или шипящей основой, -ин указывает на принадлежность к конкретному лицу. По статистике, фамилия Борзунин редкая, её очаги — в центральных областях России, особенно в бывшей Рязанской губернии и на юге Нижегородчины.

Любопытно, что у фамилии есть однокоренные «собратья»: Борзов, Борзенков, Борзунов. Но Борзунин отличается именно суффиксом -ин, который в старых переписях часто чередовался с -ов: в одном и том же селе могли записать и Борзунова, и Борзунина — в зависимости от того, как опрашивали крестьянина. Если верить словарю Б. Унбегауна, фамилии на -ин от прозвищ с основой на -а/-я (Борзун, Ворчун, Говорун) встречаются реже, чем от имён, и это делает Борзунина несколько более редким вариантом, чем, скажем, Борзунов.

В сословном плане предки Борзуниных — почти наверняка крестьяне или однодворцы. Дворянских родов с такой фамилией в гербовниках нет, а значит, фамилия бытовала в среде, где прозвище давалось по поведению, а не по роду занятий. Никаких знаменитых носителей в истории не зафиксировано — это «тихая» фамилия, которая сохранилась в деревнях и малых городах.