Фамилия Борзунов — это классический пример «прозвищной» фамилии, образованной от личного прозвища Борзун. Основа здесь — древнерусское слово «борзый», то есть быстрый, проворный, резвый, или глагол «борзиться» — торопиться, спешить. В старину борзуном называли человека бойкого, ловкого в работе или скорого на ногу. В говорах слово могло иметь и более конкретный оттенок: «борзой» — не только быстрый, но и нагловатый, дерзкий, так что прозвище иногда давали не за скорость, а за характер.

Модель образования проста и типична для восточнославянских фамилий: к основе Борзун- добавился патронимический суффикс -ов, означающий «сын Борзуна». Встречается и вариант Борзенков (от Борзенок), но Борзунов — самая распространённая форма.

Менее вероятна, но возможна связь с псовой охотой: «борзый» — это ещё и порода собак (борзая). В таком случае Борзуном могли прозвать не самого быстрого человека, а владельца или любителя борзых. Однако ономасты обычно отдают предпочтение первой версии — по поведению, а не по профессии, так как прозвища по личным качествам встречаются гораздо чаще, чем по косвенному роду занятий.

Географически фамилия рассеяна широко, но заметно чаще встречается в центральных и южных областях России, особенно в бывших Рязанской, Тамбовской и Воронежской губерниях. В некоторых местных говорах слово «борзун» сохранилось в значении «непоседа» или «торопыга» — это подтверждает основную версию происхождения.