Фамилия Бозай — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корни, стоит начать с географии и звучания.

Скорее всего, фамилия Бозай имеет тюркское происхождение. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) основа «боз» означает «лёд», «мёрзлый», а также «серый», «сивый» (масть лошади). Вторая часть — «ай» — переводится как «луна» или «месяц». Таким образом, Бозай может быть старым составным именем-прозвищем: «Ледяная луна» или «Серый месяц». Подобные двухосновные имена (Айдар, Айрат, Булат) были распространены у тюркских народов до массового перехода на русские фамилии.

Другой вариант — фамилия могла возникнуть от прозвища, данного человеку по внешности или характеру: «боз» как «сивый» (о седине или бледности) плюс ласкательный суффикс «-ай» (как в именах Бабай, Мамай). В этом случае Бозай — «сивенький», «седой». Подобные прозвища часто давали пожилым людям или тем, кто рано поседел.

Модель образования фамилии — нулевая (без суффикса). Фамилии на -ай (Бозай, Кудай, Толмай) встречаются в основном у татар, башкир и других народов Поволжья и Урала. Они не прошли типичную для русских фамилий суффиксацию (-ов, -ин), а закрепились в документах в исходной форме. Это указывает на то, что носители фамилии, вероятно, принадлежали к тюркской языковой среде, где фамилии часто оформлялись как прямые переносы личных имён или прозвищ.

В русском контексте фамилия Бозай могла подвергнуться ассимиляции: её могли записать на слух как Бозай, хотя исходное тюркское имя могло звучать как Боз-Ай с более мягким согласным. Окончание на -ай в русском языке нехарактерно для исконных фамилий, что ещё раз подтверждает её иноязычные корни.

Сословное происхождение установить сложно. Тюркские фамилии без русских суффиксов чаще встречались у крестьян и мещан, а не у дворян (которые обычно получали фамилии на -ов/-ев). Однако без конкретных архивных записей (например, по Оренбургской или Казанской губерниям) можно лишь предполагать, что предки носителя фамилии Бозай были выходцами из тюркоязычных народов, принявшими фамилию по личному имени или прозвищу.