Фамилия Божидай — редкий образец русской фамилии, образованной от глагольного повелительного наклонения. В основе лежит форма «божи дай» — просьба, обращенная к Богу. Такие фамилии-пожелания, прозвища-обереги, в русской традиции встречаются, но нечасто: Богдай, Божай, Найда, Живило. Человека могли назвать Божидаем в надежде на долгожданное рождение ребенка («Боже, дай!») или как постоянное напоминание о смирении и уповании на высшую волю.

С точки зрения словообразования, фамилия застыла в форме повелительного наклонения с нулевым окончанием. Суффикса -ов или -ин здесь нет, что указывает на её относительно позднее закрепление — скорее всего, в среде крестьян или однодворцев, у которых прозвища нередко переходили в фамилии без изменений. В документах XVII–XIX веков такая модель встречается в южнорусских и центральных губерниях, особенно в Курской, Орловской, Тамбовской.

Существует и другая версия: что Божидай — это вариант фамилии Божедомов, где «божий дом» означал богадельню или дом призрения. Но здесь корень «дай» не укладывается в эту логику, и версия с прямым обращением к Богу выглядит убедительнее. Фонетически фамилия могла звучать и как Бажидай — в говорах с аканьем, но написание «Божидай» сохранило церковнославянскую огласовку.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По открытым данным, носители Божидай живут в основном на юге России и в восточных регионах Украины. В списках дворянства или купечества фамилия не отмечена — это однозначно крестьянское или казачье прозвище, которое стало фамилией без сословных привилегий.