Фамилия Браже — одна из тех, где корень не бросается в глаза, а суффикс сразу выдаёт географию. Окончание -е указывает на польское или западнорусское происхождение: в польском языке фамилии на -е (Baraże, Braże) — обычное дело, а в русской традиции такие формы почти не встречаются. Поэтому первое, что можно сказать: предки носителя этой фамилии, скорее всего, жили на территории бывшей Речи Посполитой — в современной Польше, Беларуси или на западе Украины.

Основа фамилии — слово «брага». Брага — это слабоалкогольный напиток, род домашнего пива или гуща, оставшаяся после перегонки. В переносном смысле «брагой» могли называть нечто мутное, нечистое, а в диалектах — даже болотистую местность. Прозвище Брага давали либо любителю хмельного, либо человеку, который варил брагу на продажу. Встречается такое прозвище и в старых русских документах: в «Ономастиконе» С. Б. Веселовского упомянут Брага, крестьянин XV века.

Суффикс -же (через чередование г/ж) — это типичный польский способ образования фамилий от прозвищ. В русском языке от той же основы вышла бы фамилия Брагин (с суффиксом принадлежности -ин), а польская модель даёт Браже — буквально «сын Браги» или «человек из рода Браги». Получается, что фамилия — профессиональная или прозвищная, и её носитель в первом поколении был либо пивоваром, либо человеком с заметной склонностью к выпивке.

Встречается фамилия и в варианте Бражэ, что подтверждает её польское происхождение: в польском языке звук [ж] твёрдый, и на письме его передают через rz. В русском написании это упростилось до Ж, но произносится всё равно твёрдо.

В современной России фамилия редкая, её можно встретить в основном в западных областях и в крупных городах, куда переселялись выходцы из Беларуси и Польши. Никаких дворянских родов с этой фамилией не зафиксировано — скорее всего, это фамилия крестьянская или мещанская, образованная от бытового прозвища.