Фамилия Брижанская — женская форма, мужской вариант — Брижанский. Она принадлежит к распространённому типу фамилий на -ский/-цкий, который в русской традиции чаще всего указывал на географическое происхождение носителя: связь с местностью, селом или рекой. Такие фамилии в XVI–XIX веках получали дворяне по названию своих поместий, но массово их присваивали и выходцам из духовенства (семинарские фамилии), и переселенцам, записанным по месту выхода.

Основа фамилии — топоним Брижан или Брижаны. Скорее всего, это название населённого пункта, который мог находиться на территории современной Беларуси, Украины или западных областей России. Корень «бриж-» не имеет очевидной славянской этимологии. Наиболее вероятная версия — заимствование из балтийских языков. В литовском языке brižas означает «берёста» или «лыко», а brižis — «заросли кустарника». Предок, получивший такую фамилию, мог быть выходцем из местности, где было много берёз или кустарниковых зарослей — отсюда и название деревни, а затем и фамилия.

Менее убедительно выглядит связь с польским brzeg (берег) или чешским břeh (берег) — для этого фамилия должна была бы звучать как Бжежанская или Брежанская. Встречающееся в интернете сближение с итальянским brioso (живой, задорный) — результат случайного созвучия: фамилия явно восточноевропейская, а не романская.

Поскольку фамилия оканчивается на -ская, её носительницы с высокой вероятностью происходят из мелкопоместной шляхты или духовного сословия (семинаристы часто получали фамилии в честь сёл, откуда пришли). Встречаемость фамилии невысокая, что говорит о локальном происхождении — она могла закрепиться только в одном или нескольких соседних уездах. В современных базах данных Брижанские встречаются в России, Беларуси и на Украине, но географию предков без генеалогического поиска определить сложно.

Итог: Брижанская — фамилия, указывающая на место предка (деревня с балтийским названием, связанным с берёзой или кустарником), оформленная по польско-дворянской модели на -ский.