Фамилия Будайко — яркий пример восточнославянской модели фамилий на -ко, которая особенно характерна для Украины и Белоруссии. Суффикс -ко в XVI–XVII веках активно участвовал в образовании фамилий из прозвищ, имён и названий занятий, придавая им уменьшительно-ласкательный или «сыновий» оттенок (буквально «маленький Будай» или «сын Будая»). Поэтому носитель фамилии Будайко — потомок человека, которого в округе знали под прозвищем Будай.

Что же стоит за этим прозвищем? Самая вероятная версия связывает его с глаголом «будить». Будаем могли назвать человека, который рано вставал и будил других — сторожа, пастуха, или просто непоседу, который не давал соседям спать по утрам. В украинском языке слово «будай» фиксируется в значении «крикун, горлопан», что тоже укладывается в эту логику: прозвище могли дать шумному, голосистому человеку.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с диалектным словом «буда» (строение, будка, временное жильё). В этом случае Будаем называли строителя таких сооружений или человека, жившего в отдалённой сторожке. Однако эта версия слабее, так как суффикс -ай в прозвищах чаще образуется именно от глаголов (гуляй, ломай, стреляй), чем от существительных.

Фамилия Будайко географически привязана к западным и центральным регионам Украины, а также к югу Белоруссии. По переписям XIX — начала XX века Будайко встречаются в Волынской, Киевской, Подольской губерниях. В России фамилия редкая и, скорее всего, занесена переселенцами с Украины.

Однокоренные фамилии — Будай, Будаев, Будайчук. Все они восходят к тому же прозвищу, но различаются по способу оформления: -ев (русская модель), -ук (западноукраинская), нулевой суффикс (прозвище напрямую стало фамилией). Будайко — одна из самых показательных форм, сразу выдающая украинское происхождение рода.