Фамилия Будай — редкий случай, когда прозвище напрямую указывает на конкретное промышленное производство, а не на внешность или характер. В основе лежит слово «буда» — так в старину называли лесное заведение для выварки поташа, сидки смолы и дегтя или селитряный завод. Человек, получивший прозвище Будай, скорее всего, работал на таком предприятии: мог быть и простым рабочим, и строителем, и торговцем продукцией. Поскольку «буда» — слово из обихода лесных промыслов, фамилия особенно характерна для регионов, где было развито смолокурение и поташное дело: северные и центральные губернии России, а также Украина и Белоруссия.

Менее убедительная версия выводит фамилию из арабского имени Будаиль («смена», «заместитель») в усечённой форме. Однако для русской ономастики такой путь образования нетипичен: восточные имена обычно заимствовались целиком, а не обрубались до корня. К тому же слово «буда» активно бытовало в русских говорах и оставило след в топонимике (сёла Буда, Будаево), что делает «производственную» версию гораздо надёжнее.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ай (как в прозвищах Гуляй, Ломай) от глагольной или именной основы. В фамилии он застыл, не меняясь по падежам, — это так называемая непроизводная форма, которая не требует дополнительных суффиксов типа -ов или -ин. Такие фамилии чаще встречались на западе и юге России, а также у украинцев и белорусов, где прозвища в чистом виде дольше сохранялись в документах.

Если искать однокоренные фамилии, то в первую очередь это Будаев, Будин, Будников — все они восходят к той же «буде» или к профессии будника (работника будного стана). Будай стоит особняком именно из-за архаичного суффикса, который указывает на древность прозвища: оно могло закрепиться ещё в XVI–XVII веках, когда промыслы по перегонке дёгтя и смолы были одним из главных занятий крестьян лесных губерний.

Таким образом, носитель фамилии Будай почти наверняка потомок человека, чья жизнь была связана с лесной химической промышленностью — тяжёлым, грязным, но прибыльным делом, кормившим целые деревни.