Фамилия Будий — редкий случай в русском ономастиконе. Она образована не от распространённого полного имени, а от краткой, усечённой формы крестильного имени. В основе лежит имя Буди́мир (или Буди́вой), которое имеет славянские корни и означает «будящий мир» или «пробуждающий воинов». Имя было популярно у западных славян, особенно у поляков и чехов, но встречалось и в древнерусской среде, о чём свидетельствуют летописи. От полного имени образовалась просторечная, обиходная форма Будий — так в быту могли звать человека, чтобы не произносить длинное имя целиком.

По словообразовательной модели фамилия относится к самой распространённой группе «чистых» русских фамилий без суффикса. Это так называемые «усечённые» фамилии, где основой стало само личное имя или прозвище (как, например, фамилии Третьяк, Малой, Ждан). В данном случае к основе «Будий» просто добавилось типичное фамильное окончание -ий, которое в старину часто писали через «i» — Будiй. Встречается и вариант написания через «ы» — Будый, что связано с диалектным произношением или ошибками писцов.

Географически фамилия тяготеет к юго-западным регионам России и Украины, а также к Беларуси. Это неудивительно: именно там дольше сохранялись старые славянские имена, не вытесненные греческим календарём. Встречается она и у потомков польской шляхты, которая охотно использовала древние славянские имена в качестве фамильных прозвищ.

Интересная деталь: в некоторых говорах слово «бу́дий» могло быть не только именем, но и прозвищем для беспокойного, суетливого человека — того, кто «будит» других, не даёт покоя. Но это вторичное, народное переосмысление. Основная, более надёжная версия — происхождение от славянского имени Будимир. Если у вас фамилия Будий, ваши предки с высокой вероятностью носили это старинное двухосновное имя, которое сегодня почти вышло из употребления, но оставило след в фамилиях.