Фамилия Будинский — типичный пример фамилии на -ский, которая в большинстве случаев указывает на географическое или прозвищное происхождение. В основе лежит прозвище Будило. Так в старину называли человека, который будил других, не давал спать: либо сторожа, либо просто беспокойного, назойливого соседа. Суффикс -ин- в основе «Будин-» — это притяжательное значение («сын Будилы»), а окончание -ский добавилось при оформлении фамилии по польско-шляхетской или западнорусской модели, что часто встречается у фамилий, возникших на землях бывшей Речи Посполитой.

Менее вероятная, но всё же возможная версия связывает фамилию с древнерусскими нецерковными именами Будимир или Будислав. В этом случае Будинский — сокращённая форма отчества от этих двухосновных имён, популярных в домонгольской Руси. Однако прямое прозвище от глагола «будить» выглядит проще и правдоподобнее: такие прозвища давали по заметной черте поведения или профессии.

Регионально фамилия Будинский тяготеет к западным и юго-западным областям — Украине, Беларуси, а также к польским землям. Суффикс -ский здесь не столько дворянский маркер, сколько обычная модель для фамилий крестьян и мещан в этих краях. Встречается она и в России, но реже.

Итог: предок носителя фамилии Будинский, скорее всего, был либо «будильщиком» — человеком, чья работа или привычка состояла в том, чтобы поднимать других, либо, что менее вероятно, носил имя Будимир или Будислав, которое в бытовой речи сократилось до Будила.