Фамилия Будинская — женская форма фамилии Будинский, и её происхождение связано с географическим названием. Основа фамилии — топоним Буда или Будино, которых немало на территории Украины, Беларуси и западных областей России. Слово «буда» в этих краях имело конкретное значение: так называли строение для выгонки дёгтя, поташа или смолы — своего рода лесной завод. Человек, живший при такой буде или работавший на ней, получал прозвище Буда, а его потомки становились Будинскими.

Суффикс -ский/-ская в фамилии — классический признак дворянского или шляхетского происхождения в Речи Посполитой и на западе Российской империи. Такие фамилии часто закреплялись за владельцами имений или за теми, кто переселялся из одного села в другое и брал название покинутого места. В отличие от простых крестьянских фамилий на -ов, -ин, модель на -ский указывала на более высокий социальный статус или на принадлежность к служилому сословию.

Встречается и альтернативная версия — от имени Богдан или его уменьшительной формы Буда. Но она менее убедительна: для личного имени характернее суффикс -ин (Будин), а -ский привязывает фамилию скорее к местности, чем к имени. Поэтому основная гипотеза — топонимическая, и она подтверждается массовостью названий «Буда» в старой писцовой документации.

Если ваш предок носил фамилию Будинский, он, скорее всего, происходил из западнорусских или украинских земель, где лесные промыслы были обычным делом. Возможно, он был мелкопоместным дворянином, владевшим участком с будой, или переселенцем, взявшим фамилию по названию родной деревни.