Фамилия Будынская — вариант женского рода, мужская форма — Будынский. С точки зрения словообразования это типичная «географическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта с помощью суффикса -ск-. Такие фамилии в польской, украинской и белорусской традиции указывали на помещичье происхождение или на место, откуда человек родом. В России фамилии на -ский/-цкий часто получали выходцы из духовенства, но в случае с Будынскими вероятнее всего корни в шляхетской или крестьянской среде западнорусских земель.

Основа фамилии — топоним Буды или Будын. Таких названий в Польше, Беларуси и на западе Украины десятки. Слово «буда» в этих краях означало не просто строение, а конкретную постройку: лесную сторожку, смолокурню, поташный завод или временное жильё для рабочих. В старинных документах «буда» — это и мастерская по выгонке дёгтя, и место, где жгли уголь. Соответственно, Будын — это либо поселение при такой «буде», либо чей-то хутор. Человек, получивший фамилию Будынский, скорее всего, был родом из деревни Буды или Будын, а его предки могли заниматься лесными промыслами — смолокурением, углежжением или просто жили в лесной сторожке.

Есть и другая, менее распространённая версия. В некоторых говорах «буды» называли развалины, старые постройки. В этом случае фамилия могла закрепиться за человеком, жившим на пустоши, на месте бывшего селища. Но первая версия — от названия промыслового посёлка — выглядит убедительнее, потому что таких «буд» в истории Восточной Европы было очень много, и они дали жизнь целому кусту фамилий: Будников, Буденков, Будницкий.

Написание фамилии через «ы» (Будынская, а не Будинская) — характерная черта для фамилий, записанных в польской или украинской орфографической традиции, где «ы» передаёт твёрдый звук. В русских документах ту же фамилию могли записать как Будинская, но форма с «ы» точнее указывает на западнорусское или польское происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни на территории современной Беларуси, восточной Польши или Волыни — в местах, где были распространены лесные «буды» и где топонимы с корнем «буд-» встречаются на каждом шагу.