Фамилия Будыко — отличный пример того, как за одной словообразовательной моделью может скрываться несколько совершенно разных историй. В основе лежит прозвище Будыка, а суффикс -ко указывает на украинское или белорусское происхождение: в этих языках он часто заменял великорусские -ов/-ев, образуя фамилии без дополнительного суффикса. То есть Будыко — это буквально «сын или потомок Будыки».

Самого Будыку толкуют по-разному. Самая убедительная версия связывает прозвище с нарицательным «буда» — так в старину называли завод или мастерскую в лесу, где вываривали поташ, сидели смолу, гнали дёготь или делали селитру. Человек, работавший на буде или приписанный к ней, получал прозвище Будыка. Со временем оно закрепилось как фамильное имя и для его потомков.

Есть и другая версия — от глагола «будити» (будить). В этом случае Будыкой могли прозвать либо беспокойного, плаксивого ребёнка, который всех поднимал по ночам, либо, наоборот, человека, который рано вставал и будил других на работу. Эта гипотеза менее популярна у ономастов, но полностью исключать её нельзя: прозвища по поведению давали часто.

С географией всё ясно: фамилия типична для юго-западных земель — Украины и Беларуси, откуда потом распространилась на юг России. Встречаются варианты написания: Будыка, Будыков, но форма Будыко — самая характерная именно для украинской модели фамилий на -ко.