Фамилия Будыш — редкий случай, когда основа не очевидна на первый взгляд. В ней нет привычного славянского корня, который сразу подсказал бы значение. Чтобы понять её происхождение, нужно присмотреться к суффиксу и географическому следу.

Суффикс -ыш в русских фамилиях встречается нечасто. Обычно он образует прозвища от глаголов или прилагательных: Малыш (от «малый»), Голыш (от «голый»), Крепыш (от «крепкий»). По этой модели Будыш могло произойти от слова «будный» или «будить». В старых говорах «будный» — это шумный, беспокойный, крикливый человек. Тогда Будыш — прозвище для непоседы или задиры, того, кто всех «будит» и не даёт покоя.

Есть и вторая, более конкретная версия. Фамилия могла возникнуть в западнорусских или белорусских землях, где слово «буды́ш» (или «будак») означало растение — чертополох, колючий бурьян. В этом случае прозвище давали колючему, неуживчивому человеку или, наоборот, тому, кто живёт в глухой, заросшей местности. На это указывает и то, что фамилия Будыш встречается в основном в Беларуси и на западе России, а не в центральных областях.

Формант -ыш здесь — не уменьшительный суффикс, а скорее словообразовательный, как в прозвищах. Сама фамилия по модели относится к «прозвищным» и не имеет дворянского окончания -ский или -ов. Она могла закрепиться за крестьянином или мещанином в XVI–XVII веках, когда прозвища переходили в фамилии без изменений. Однокоренных фамилий почти нет: Будылин, Будыгин — но все они восходят к другим основам (от «будыль» — стебель, пустое место). Будыш стоит особняком.

Спор между версиями решается просто: если бы фамилия была от имени Буд (краткая форма от Будимир или Будослав), суффикс был бы -ов или -ин — получилось бы Будов или Будин. Значит, корень не в имени, а в нарицательном слове. Самая правдоподобная версия — прозвище от «будный» (шумный) или от растения «будыш» (чертополох). Оба объяснения укладываются в логику народных прозвищ, и выбрать одно можно только по семейному преданию.