Буркатская — фамилия, в которой сразу считывается географическая привязка, а не прозвище или ремесло. Суффикс -ск- указывает на то, что перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная от названия места. Такие фамилии в XVIII–XIX веках чаще всего получали выходцы из духовенства (семинаристы, которым меняли фамилии по названию села или храма) и дворяне (по владению поместьем). Но в случае с Буркатской скорее всего первое: женская форма фамилии говорит о том, что её носительница — женщина, а мужской вариант — Буркатский.

Основа — топоним Буркаты или Буркатка. На картах встречается несколько таких названий. Например, село Буркаты в Брянской области (бывшая Черниговская губерния) и деревня Буркатово в Тверской области. Но самый вероятный источник — местечко Буркаты на территории современной Львовской области Украины. В XIX веке это было село в Золочевском уезде, и фамилия Буркатский могла появиться у выходцев оттуда. Слово «буркат» в украинских говорах имеет несколько значений: так могли называть ворчуна, брюзгу (от «буркати» — бормотать, ворчать), а также человека с густыми, нависшими бровями (сравните с «бурка» — мохнатая шапка, накидка). Однако в фамилиях на -ский редко закрепляется прямое прозвище — обычно сначала возникает название поселения, а уже от него фамилия.

Интересная деталь: в польском языке «burkat» означает «буревестник», и на землях Речи Посполитой (куда входила Галичина) фамилия Буркатский могла иметь шляхетское происхождение, но без документальных подтверждений это лишь догадка. В любом случае, фамилия редкая: в современных российских базах она встречается единично, в основном в западных областях и в Москве. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в черниговских или галицийских землях, а также проверить списки духовенства — среди сельских священников такие «географические» фамилии были обычным делом.