Фамилия Буркэ — редкий случай, когда написание сразу выдаёт нерусское происхождение. Конечное «э» под ударением, нехарактерное для славянских фамильных суффиксов, указывает на то, что перед нами фамилия, скорее всего, французского или румынского (молдавского) корня, адаптированная кириллицей.

Самый прямой путь — французская фамилия Bourquet. Во французском языке она образована от bourg — «городок, местечко» с уменьшительным суффиксом -et. Буквально Bourquet — «житель небольшого городка» или «маленький бург». В русской передаче конечное «et» часто переходило в ударное «э»: Буркэ, Бурке́. Такие фамилии могли принести в Россию французские эмигранты, гувернёры, офицеры или ремесленники в XVIII–XIX веках.

Однако есть и другая, не менее вероятная версия — молдавская. В румынском (молдавском) языке слово «буркэ» означает «толстогубый» или «надутый», от burcă — «губа, обветренная губа». Это типичное прозвище по внешней особенности, которое закрепилось как фамилия. Учитывая, что в Бессарабии (историческая область Молдавии) такие фамилии на -э встречаются сплошь и рядом, а в Российской империи их записывали именно в такой форме, молдавский след кажется даже более массовым.

Третья, более экзотическая версия — тюркская. В некоторых тюркских языках «буркэ» могло означать «шапка» или «головной убор» (ср. татарское «бүрк» — шапка). Но для этой гипотезы слишком мало подтверждений в русских документах, и она уступает двум первым по распространённости.

Географически фамилия Буркэ в дореволюционной России была привязана к юго-западным губерниям: Бессарабской, Подольской, Херсонской. Там её носителями были как молдавские крестьяне (по прозвищу), так и обрусевшие дворяне французского происхождения. Встречалась она и у польской шляхты, но в форме Burke или Burket.

Таким образом, если ваш предок носил фамилию Буркэ, он мог быть потомком французского эмигранта, молдавского крестьянина с характерной внешностью или, реже, выходцем из тюркских народов. Сословный состав носителей был пёстрым — от однодворцев до мелкопоместных дворян.