Фамилия Бурзаева — женская форма фамилии Бурзаев, а та, в свою очередь, образована от мужского личного имени или прозвища Бурзай. Словообразовательная модель здесь простая: к основе на -ай добавляется типичный русский патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — «Бурзаев сын»). Суффикс -ев, а не -ов, стоит после мягкого или шипящего согласного (звук [з’] в основе Бурзай), что грамматически верно.

Корень бурз- вызывает два основных толкования. Первое и самое вероятное — связь с диалектным глаголом «бурзать», который в рязанских и тамбовских говорах означал «говорить быстро, тараторить», а также «ворчать, брюзжать». Прозвище Бурзай могли дать человеку неугомонному, говорливому или вечно недовольному. Второе, менее распространённое предположение — происхождение от тюркского корня, где «бурза» могло означать «лёд» или «холод» (ср. тат. боз), но это натяжка: для фамилии с русским суффиксальным оформлением и бытованием в центральной России тюркская версия слаба.

Географически фамилия Бурзаев встречается в основном на юге России, в Ростовской области и Краснодарском крае, а также в Поволжье. В дореволюционных метрических книгах её носители — чаще государственные крестьяне или казаки. Суффикс -ай в основе указывает на прозвищное происхождение, характерное для простонародной среды XVII–XVIII веков. Если ваш предок носил фамилию Бурзаев, он, скорее всего, был человеком с живым, возможно, сварливым характером, который быстро говорил и не давал спуску окружающим.