Фамилия Бурзайкина образована от имени или прозвища Бурзайка. Само имя Бурзайка — это уменьшительная форма от имени Бурзай, которое имеет тюркские, скорее всего татарские, корни. В переводе с татарского «бурзай» означает «быстроногая собака». Такие имена-пожелания в древности давали не случайно: родители верили, что, называя ребёнка именем животного, они передают ему часть его качеств — в данном случае скорость, выносливость, верность. Кроме того, существовал и магический обычай: если мальчик рождался с уже прорезавшимися зубами (что считалось признаком «хищной» натуры) или, наоборот, зубы долго не появлялись, ему могли дать имя, образованное от названия зверя или собаки. Считалось, что это помогает либо «узаконить» необычную черту, либо, во втором случае, стимулировать рост зубов.

Суффикс «-ин» в фамилии указывает на принадлежность: Бурзайкина — буквально «дочь (или жена) Бурзайки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и имён, оканчивающихся на «-а» или «-я». В мужском варианте фамилия звучала бы как Бурзайкин.

Процесс закрепления фамилий в разных слоях населения шёл неравномерно. У крестьян и мещан, где такие прозвищные фамилии были особенно распространены, они окончательно оформились лишь к XIX — началу XX века. Поэтому без конкретных генеалогических изысканий (по метрическим книгам, ревизским сказкам) точно определить, где и когда жил первый носитель этой фамилии, сложно. Однако можно уверенно сказать, что корни фамилии Бурзайкина лежат в среде, где были сильны тюркские влияния и народные традиции имянаречения.