Фамилия Бурзайкин — редкий случай, когда основа настолько неочевидна, что даже опытный этимолог сначала пожмёт плечами. В ней нет привычного корня от крестильного имени или распространённого ремесла. Всё упирается в слово «бурзайка». В словарях русских говоров (в частности, архангельских и вологодских) «бурзайка» — это прозвище, которое давали человеку небольшого роста, коренастому, похожему на короткошёрстную лохматую собаку, либо просто непоседливому, «ёрзающему» человеку. Глагол «бурзать» означает «ёрзать, вертеться, суетиться». Таким образом, Бурзайкин — это «сын Бурзайки», то есть потомок человека, получившего такое прозвище за характер или внешность.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: чей сын? — Бурзайкин. В русской ономастике эта модель типична для фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я. Если бы основа звучала как Бурзайко, мы бы получили фамилию Бурзайков, но форма на -айка даёт именно -ин.

Географически фамилия тяготеет к северу и северо-востоку европейской части России. В переписях XVIII–XIX веков Бурзайкины встречаются в Вятской и Пермской губерниях, а также в Зауралье. Это косвенно подтверждает, что прозвище бытовало именно в северных говорах. В центральных и южных регионах фамилия почти не фиксируется.

Интересно, что в некоторых диалектах слово «бурзайка» могло означать и «короткий тулупчик» или «безрукавку» (от тюркского «бурдюк»? — версия спорная). Однако для прозвища, ставшего фамилией, одежда — менее вероятный источник, чем характер или внешность: прозвища «по вещи» обычно давали мастеровым, а не случайным людям. Поэтому версия с «ёрзающим» или «коренастым» человеком выглядит убедительнее.

Встречается и написание Бурзейкин, но это, скорее всего, диалектное искажение (аканье или замена гласного под влиянием местного говора). Основной вариант — через «а» в корне — закрепился в метрических книгах.

Итог: Бурзайкины — это потомки человека, которого в деревне за его подвижность, суетливость или приземистую фигуру прозвали Бурзайкой. Фамилия редкая, с чёткой северной пропиской и живой, почти звукоподражательной основой.