Фамилия Бычковских стоит в ряду так называемых «окающих» фамилий на -их/-ых, характерных для северных и сибирских говоров. В литературной норме такие фамилии обычно склоняются (например, «у Бычковских»), но в быту их нередко воспринимают как застывшую форму родительного падежа множественного числа, что и отражает написание.

Основа фамилии — прозвище Бычок или Бычковский. Если это Бычок, то перед нами типичная модель: прозвище → фамилия на -ский → форма на -их. «Бычок» в старых говорах могло означать не только молодого быка, но и упрямого, сильного человека, а также, по некоторым данным, особый вид ремесла или даже небольшую лодку (на некоторых реках). Если же исходной была фамилия Бычковский, то она образована от названия села или деревни, например, Бычки или Бычково — таких топонимов немало в центральной России и на Украине. В этом случае Бычковские — это «люди из Бычков» или «принадлежащие к роду Бычковских».

Сам суффикс -овск- в основе — типичный для дворянских и шляхетских фамилий XVIII–XIX веков, но в паре с окончанием -их он «снижает» сословную окраску: на Русском Севере так называли крестьян, переселенцев и мещан. Географически фамилия чаще всего встречается в Кировской области, Пермском крае и на Урале — то есть в зоне позднего заселения, где фамилии на -их закрепились особенно прочно.

Спорных версий здесь немного. Соблазнительно связать Бычковских с «бычками»-рыбами (бычок — распространённая промысловая рыба), но для северных регионов это маловероятно: там бычок не был основным объектом лова. Правдоподобнее — связь с животным или с топонимом, причём оба варианта могли существовать параллельно в разных ветвях рода.

Особенность фамилии в том, что она нередко бытует в двух вариантах написания: Бычковских и Бычковский. Первая форма — более архаичная, местная, вторая — «общерусская», подогнанная под стандарт паспортного стола. Если ваши предки писались именно через -их, скорее всего, они жили на севере или востоке России и были крестьянами или мастеровыми.