Фамилия Былым звучит необычно для русского уха — и это первый ключ к её происхождению. Самая распространённая версия связывает её не с русским, а с украинским языком, а именно с прилагательным «білий» — «белый». В этом случае фамилия образована по той же модели, что и многие южнорусские и украинские фамилии на -ым: в основе лежит прозвище, данное по цвету волос, кожи или одежды.

Другое объяснение уводит в социальную историю. Прозвище Былым могли дать так называемому «обеленному» человеку. В Московском государстве и в землях Речи Посполитой «обелением» называли освобождение крестьянина или посадского от всех податей и повинностей. Такой статус жаловали за особые заслуги, чаще всего — за военную службу или за долгую беспорочную работу на государя. Прозвище Белый (в украинской огласовке — Былый) могло закрепиться за человеком, который получил эту льготу.

Третья версия, менее вероятная с точки зрения грамматики, но возможная, отталкивается от слова «быль» — то, что было на самом деле. Если прозвище Былым образовано от «быль», то оно могло указывать на честного, правдивого человека, который не лгал, или же на летописца, рассказчика, хранителя преданий. Однако здесь есть сложность: суффикс -ым в русских фамилиях обычно указывает на ответ на вопрос «чей?» (чей сын? — Былым), то есть на принадлежность к человеку по прозвищу Былой. А прозвище Былой как раз и могло означать «бывалый», «опытный» или, наоборот, «тот, кто был в прошлом» (например, бывший холоп, ставший вольным). Эта связка — Былой → Былым — выглядит логичнее, чем прямое образование от существительного «быль».

Таким образом, фамилия Былым с большой вероятностью имеет украинские корни и связана либо с цветом (белый), либо с освобождением от налогов («обеленный»). В русском контексте она могла появиться как адаптация украинской фамилии Білий или как прозвище, данное выходцу с Украины. Фамилия редкая, и её носители, скорее всего, происходят из южнорусских областей или с территории современной Украины.