Фамилия Бышук — редкий случай, когда корень, скорее всего, не славянский, а тюркский или балтский. В русском языке нет слова «быш» или «быша», зато в тюркских наречиях «быш» означает «зрелый», «спелый», а также «вариться» или «печься» (отсюда, кстати, и слово «башмак» — не родственное, но звучание похоже). Если основа тюркская, то Бышук — это «зрелый человек» или «тот, кто пропёкся», то есть бывалый, опытный. Вторая версия — балтская: в литовском языке есть слово «būti» (быть) и его производные, а суффикс -ук характерен для белорусских и украинских фамилий, которые нередко возникали на стыке с балтскими землями. Тогда прозвище Быш могло означать «живучий», «сущий» или даже «бык» (лит. bukas — тупой, но звучание близко).

Суффикс -ук в восточнославянских фамилиях чаще всего указывает на принадлежность: «чей-то сын» или «маленький» (как в парах «внук — внучок»). То есть Бышук — «сын Бышы» или «маленький, молодой Быш». Это типичная модель для Волыни, Полесья, Гродненщины — регионов, где украинские и белорусские фамилии на -ук (-юк) встречаются сплошь и рядом. Если бы фамилия была русской, скорее всего, она звучала бы как Бышев или Бышин.

Встречается Бышук и среди белорусской шляхты — в списках мелкопоместных дворян Минской и Гродненской губерний. Там фамилия могла закрепиться не по прозвищу, а от названия местечка или урочища (например, Бышово или Бышичи). Но документальных подтверждений конкретной географической точки нет.

Сегодня носители фамилии рассеяны: больше всего в Беларуси (особенно Брестская и Гродненская области), на западе Украины и в приграничных областях России. Встречается и в Польше — в форме Byszuk, что подтверждает её западнославянско-балтское происхождение.

Итого: Бышук — фамилия, которая с высокой вероятностью пошла от прозвища с тюркским корнем (зрелый, опытный) или от балтского слова, а её суффикс выдает украинско-белорусское происхождение. Предки были либо крестьянами, либо мелкой шляхтой из западных земель Речи Посполитой. Точнее сказать сложно — фамилия слишком редкая, чтобы строить однозначные генеалогические схемы.