Фамилия Быстранова — женская форма, а в основе лежит мужская Быстранов, что сразу указывает на модель образования: это типичная русская фамилия на -ов, образованная от прозвища или мирского имени Быстран. Корень здесь — «быстр-», и это не про скорость бега, хотя первая ассоциация именно такая. Скорее всего, прозвище Быстран дали человеку за живой нрав, расторопность или скорую речь. В русских говорах «быстрый» означало не только «резвый», но и «бойкий», «проворный», а иногда — «вспыльчивый», «горячий». Так что предок-носитель фамилии мог быть тем, кто всё делал быстро и решительно, или, наоборот, отличался нетерпеливостью.

Интересная деталь — суффикс -ан в основе. В русской антропонимии суффикс -ан (-ян) часто придавал прозвищу оттенок просторечия, даже некоторой грубоватости или уменьшительности: ср. «толстян», «губан», «лопоухан». Быстран — это не просто «быстрый», а «быстрый в высшей степени» или «такой, которого прозвали за чрезмерную быстроту». Такие прозвища давали в крестьянской среде, где ценили трудолюбие и сноровку, а медлительность высмеивали. Поэтому социальный контекст фамилии — почти наверняка крестьянский или мещанский, без дворянского следа. Географически фамилия встречается преимущественно в центральных и северных областях России, особенно в Вологодской и Архангельской губерниях, где говор сохранил слово «быстрый» в активном обиходе.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Быстров, Быстряков, Быстрицкий, — то Быстранов стоит особняком. Быстров — самая частая, от прилагательного «быстрый» (без суффикса). Быстряков — от прозвища Быстряк (с суффиксом -як, тоже «ловкач»). А Быстранов — редкий вариант, который сохранил архаичную суффиксальную модель. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна такая форма не упоминается прямо, но по аналогии с другими фамилиями на -анов (Скородумов — Скородуманов, Хитров — Хитрованов) можно предположить, что Быстранов — вторичная форма от Быстрый через прозвище Быстран. В написании путаницы нет: всегда через «а», не путать с «быстронов» (от «новый»), хотя в дореволюционных метриках могли писать «Быстрановъ» с твёрдым знаком.

В итоге: фамилия Быстранова — прямой потомок прозвища, которое дали человеку с живым, торопливым характером, а её редкость делает её особенно ценной для семейной истории.