Фамилия Быцай — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский, что сразу наводит на мысль: перед нами либо украинская, либо белорусская модель образования, либо фамилия, застывшая в форме прозвища.

Скорее всего, основа «Быц-» восходит к глаголу «быть» или к его диалектным формам. В украинском и южнорусских говорах «биць» означает «бить», «колотить». Прозвище Быцай могли дать драчливому, задиристому человеку или, наоборот, тому, кто работал с молотом, сбивал масло или выполнял другую ударную работу. Суффикс -ай характерен для украинских фамилий-прозвищ, образованных от глаголов (например, Грицай — от «грести», «играть»; Товкай — от «толкать»). Таким образом, Быцай — это «тот, кто бьёт» или «бьющийся».

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным словом «быц» или «быца»: в некоторых говорах так называли быка, особенно молодого. Тогда прозвище могло относиться к человеку упрямому, сильному или похожему на быка поведением. Однако эта версия слабее, так как суффикс -ай редко присоединяется к существительным в такой форме.

Географически фамилия встречается в основном на западе Украины (Волынь, Ровенская область) и в приграничных районах Беларуси. В России она единична. Носители фамилии — в прошлом крестьяне или казаки, так как фамилии на -ай в массе своей не принадлежали дворянству, а фиксировались у простонародья в XVII–XIX веках.

Обратите внимание на вариант написания: ударение, скорее всего, падает на последний слог — Быца́й, что подтверждает украинскую модель. Если бы ударение было на первый слог, фамилия могла бы звучать как Бы́цай, но в таком виде она почти не встречается. В целом, Быцай — это прозвище по действию или характеру, которое закрепилось за родом несколько веков назад.