Фамилия Бацай — одна из тех, что ставит перед исследователем вопрос сразу: это украинское, белорусское или западнорусское образование? Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая на юго-западе бывшей Российской империи, где суффикс -ай был продуктивен при образовании прозвищ от глагольных основ.

Самая прямая версия ведёт к украинскому или белорусскому глаголу «бацати» — стучать, бить, громко топать. Прозвище Бацай могли дать человеку с тяжёлой походкой, грубоватому в движениях или тому, кто работал с молотом, кувалдой — например, кузнецу. В этом случае фамилия относится к группе «профессиональных» прозвищ, которые закрепились без дополнительных суффиксов (как Коваль, Ткач, Бондарь). Отсутствие типичного русского окончания -ов или -ин указывает на то, что фамилия, скорее всего, не прошла полную русификацию и сохранила исходную форму прозвища.

Вторая версия, менее очевидная, связывает основу с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях «бац» или «баца» означает «ястреб», «сокол» или «сильный, быстрый». Учитывая, что на юге России и Украины исторически были сильны тюркские влияния (крымские татары, ногайцы), не исключено, что фамилия могла возникнуть как прозвище охотника или воина. Однако эта гипотеза слабее: в славянской среде тюркские корни чаще оформлялись суффиксами (-ов, -ев), а форма Бацай для них нетипична.

География фамилии сегодня подтверждает первую версию. Основная масса носителей живёт в западных и центральных областях Украины (Винницкая, Хмельницкая, Житомирская области), а также в приграничных районах Беларуси. В России фамилия редка и встречается в основном в Краснодарском крае и Ростовской области — регионах, куда активно переселялись украинские крестьяне в XIX—XX веках.

Что касается сословной принадлежности, то однозначно говорить не приходится. Прозвище Бацай могли дать как крестьянину (за манеру ходить или за работу молотобойца), так и казаку — в казачьей среде такие «громкие» прозвища были в ходу. Но фамилия не дворянская: в родословных книгах Российской империи она не фиксируется.

Итог прост: если ваша фамилия Бацай, ваши предки, скорее всего, жили на западе современной Украины или в Беларуси, а прозвище получили либо за шумную работу (кузнец, молотобоец), либо за манеру вести себя — громко, тяжело, с размахом.