Фамилия Чекотилов — один из тех случаев, когда внешне узнаваемая основа на поверку оказывается неочевидной. На слух она кажется производной от глагола «чекотать» или существительного «чекот», но ни того ни другого в нормативных словарях русского языка нет. Значит, корень либо диалектный, либо искажённый, либо иноязычный.

Самый вероятный путь образования — от прозвища или некалендарного имени Чекот, Чекотка. В русских говорах слово «чекот» фиксировали в значении «щебет, птичий крик» (ср. «чекотать» — щебетать, болтать без умолку). Прозвище Чекот могли дать говорливому, бойкому человеку или, наоборот, тому, кто подражал птичьим голосам. Суффикс -ил- в фамилии — редкий для русского ономастикона: обычно фамилии на -илов образуются от основ на -ило (Косилка → Косилкин, но здесь иная модель). Чекотилов — скорее патроним от прозвища Чекот через форму Чекотúло (увеличительное или пренебрежительное), а затем уже стандартное -ов. То есть: Чекот → Чекотúло → сын Чекотилов.

Версия с тюркским следом тоже имеет право на существование, хотя менее убедительна. В ряде тюркских языков «чекот» или «чокот» — разновидность обуви или деталь конской сбруи. Но для фамилии, распространённой в центральных и южнорусских областях (Тульская, Рязанская, Воронежская губернии), тюркская основа маловероятна: прозвища по обуви в крестьянской среде давали редко, и они обычно становились фамилиями на -ин (Чеботарёв, Сапожников), а не на -ов.

Обратите внимание на суффикс -илов: он характерен для фамилий из северо-восточных регионов (Вятка, Пермь, Кострома), где активно употребляли формы на -ило. Если ваши предки Чекотиловы родом оттуда, версия с прозвищем Чекотúло становится ещё крепче. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии нередко писали через «а»: Чекотилов или Чикотилов — путаница из-за аканья, но корень тот же.

Итог: Чекотиловы — потомки человека, которого в деревне звали Чекот или Чекотило. Скорее всего, он был говорлив, любил поболтать или имел звонкий голос. Фамилия редкая, недворянская, крестьянская или мещанская, и её необычный суффикс — лучшее доказательство того, что она не пришла из книжного языка, а родилась в живой народной речи.