Фамилия Чигадаева — женская форма, мужской вариант — Чигадаев. Это русская фамилия, образованная по типичной модели: основа плюс суффикс -ев (или -ов). Если суффикс -ев указывает на принадлежность («чей сын?»), то основа — прозвище Чигадай. Слово «чигадай» в русских говорах не встречается в словарях литературного языка, но его корень прозрачен. Скорее всего, это вариант тюркского слова «чигатай» или «чагатай» — названия одного из тюркских племён, вошедших в состав Золотой Орды, или имени Чагатай (второй сын Чингисхана). В русской среде такое прозвище могли дать человеку смуглому, черноволосому, либо выходцу из ордынских степей.

Другая, менее вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «чигадать» — болтать, пустословить. Тогда Чигадай — говорун, балагур. Но эта гипотеза слабая: глагол редок, а суффикс -ай в прозвищах чаще встречается в тюркских заимствованиях (Булгай, Торгай). Правдоподобнее первая версия — этническое или прозвищное имя, отражающее контакты русского населения с тюрками.

Фамилия Чигадаева — не самая распространённая. Она встречается в Поволжье (особенно в Самарской, Саратовской областях) и в южных регионах России. Там, где в XVI–XVII веках служилые люди и крестьяне смешивались с татарами, башкирами, чувашами, такие фамилии — обычное дело. Носители Чигадаевых могли быть и казаками, и крестьянами, и мещанами — сословная принадлежность по фамилии не определяется.

В написании фамилии возможны варианты: Чигадаев, Чигадаева, реже Чигодяев (с заменой «а» на «о» под влиянием акающих говоров). Встречается и форма Чигатаев, где корень ближе к исходному «чагатай». Но ударение всегда на третьем слоге: Чигада́ев.

Коротко: предок носителя фамилии получил прозвище Чигадай — скорее всего, по внешности или происхождению, связанному с тюркским миром. Фамилия закрепилась в Поволжье и на юге России.